Presentación - Calidad de los Generadores de Números Pseudoaleatorios

Luego de la investigación, en este post les compartimos el link de la presentación donde, de manera resumida, podrán ver todo lo referido al proyecto:

PRESENTACIÓN DE LA CALIDAD DE LOS GENERADORES DE NÚMEROS PSEUDOALEATORIOS

Conclusión

El objetivo de estudio de este trabajo consistió en establecer cuál de los generadores, R, GeoGebra, DevC++ y la Calculadora, siguen una Distribución Uniforme (0,1), es decir, generan números pseudoaleatorios lo más cercano a números aleatorios.

Nuestra hipótesis es que el software R nos arrojará números que se ajustan más a una Distribución Uniforme (0,1), es decir “más aleatorios” que con el resto de los generadores porque es el más específico en el ámbito estadístico.

Luego de distintos análisis, podemos llegar a la conclusión de que los cuatro generadores se ajustan a una Distribución Uniforme (0,1), pero el generador que más se aproxima, es el de la Calculadora, por lo tanto es el de mejor calidad. Si bien pasa ésto, la diferencia con el resto de los software es mínima, en consecuencia, por la rapidez, la eficiencia, la interfaz gráfica y la variedad de herramientas, es conveniente utilizar algunos de los software analizados, estableciendo prioridad por el de R.

Desarrollo del Proyecto - Análisis Inferencial

En este análisis ya no tenemos en cuenta solo la muestra, sino que realizamos supuestos para toda la población, es decir, predicciones de cómo se comportarán los generadores en posteriores simulaciones, sirviendonos para tomar decisiones de cuáles serán los mejores.

En un primer momento, para asegurarnos que las medias de las variables son efectivamente próximas a 0.5 para cualquier simulación futura, realizamos un Test de Hipótesis para la media con nivel asintótico, con 99% de coeficiente de confianza. Donde determinamos el test bilateral en el cual la hipótesis nula es μ = 0.5. Como lo hicimos en R, con el paquete Rcommander, y este no cuenta instrucciones para realizar el test para la media con nivel asintótico tuvimos que realizarlo con el siguiente código:

n<-length(conjunto_de_datos$variable) #cantidad de observaciones

mu0<-0.5 #media teorica

s<-sd(conjunto_de_datos$variable) #le asignamos a s el desvío de la muestra

z.test<-(mean(conjunto_de_datos$variable))-mu0)/(s/sqrt(n)) #pivote para el test asintótico

alfa<-0.01 #nivel de significación del 1%

resultado<-c(z.test, pnorm(c(z.test), mean=0, sd=1, lower.tail=TRUE))

IC.media<-c(mean(conjunto_de_datos$variable))-qnorm(1-alfa/2)*s/sqrt(n), mean(conjunto_de_datos$variable))+qnorm(1-alfa/2)*s/sqrt(n))

resultado

IC.media

Obteniendo los  siguientes datos:

Generador	Media muestral	t calculado	valor p	Intervalo de confianza
GeoGebra	0.5008008	0.02990052	0 .51192681	(0.4318185; 0.5697830)
R	0.4730771	0.9031315	0.1832280	(0.3962901; 0.5498641)
Dev C++	0.496885	0.1091265	0.4565511	(0.4233577; 0.5704122)
Calculadora	0.47808	0.7652732	0.2220544	(0.4042996; 0.5518604)
Figura 1: Test de Hipótesis para la media con nivel asintótico.  H_0: μ = 0.5 vs. H_a: μ =/ 0.5

Por lo tanto, las cuatro variables tienen su media aproximadamente igual a 0.5.

Como última técnica para definir si las variables siguen Distribución Uniforme Continua (0,1) tal
como propusimos, usamos la Prueba Chi-Cuadrado de Bondad de Ajuste. Consideramos como hipótesis nula justamente que cada una de las variables seguían esa distribución. Con el siguiente código obtuvimos los valores que se muestran en la Figura 2:

tabla1=hist(MuestrasUniformes$obs, breaks="Sturges", plot=F)

datos=tabla1$breaks

n.clas=length(datos)-1

frecobs=tabla1$counts

frecesp=punif(c(datos[2:n.clas],+Inf),0,1)-punif(c(-Inf,datos[2:n.clas]),0,1)

chisq.test(frecobs,p=frecesp)

Generador	Chi-Cuadrado gl:9 calculado	valor p
GeoGebra	8.2	0.5141
R	6.4	0.6993
Dev C++	8.6	0.475
Calculadora	5	0.8343
Figura 2: Resultados Bondad de Ajuste por variables para probar si siguen una Distribución Uniforme Continua (0,1)

Con estos resultados llegamos a la conclusión que...

¡¡¡ todas las variables se ajustan a la distribución Uniforme Continua (0,1) !!!

Desarrollo del Proyecto - Describiendo los datos obtenidos

Retomando los post anteriores, para determinar la calidad de los generadores de números aleatorios que nosotras elegimos (devC++, R, Geogebra y la calculadora) debemos comparar con la Distribución Uniforme (0,1) y analizar si cada conjunto de datos generados se aproxima a esta distribución y definir, si es posible a partir de la información que tenemos, cuál es el más aproximado.

Recordemos las características de la Distribución Uniforme Continua en el intervalo (a,b), a < b:

• Función de densidad de probabilidad: 

• Función de distribución: 

• Dominio: 

• Esperanza o media: E(X) = 

• Varianza: V(X) = 

• Coeficiente de simetría: 0

• Coeficiente de curtosis:  9/5

                                                 ó -6/5 (si al coeficiente de curtosis le restamos 3 para compararlo con la campana de Gauss.  9/5 - 3 = -1.2)

Para este caso el intervalo queda definido por  y .

Entonces resulta:

•  para 

•  para 

• 

• 

• 

A continuación presentamos las medidas de tendencia central y dispersión perteneciente a cada uno de los conjuntos de datos obtenidos, para compararlas con los valores teóricos. Pero, que estas medidas coincidan con los valores teóricos de la Distribución Uniforme (0,1) no nos asegura que las variables de los números generados tengan distribución similar a la Uniforme, para ello también necesitamos tener en cuenta los parámetros de forma (curtosis y asimetría). 

	Uniforme (0,1)	Datos de R	Datos C++	Datos Calculadora	Datos Geogebra
Media	0.5	0.4730771	0.496885	0.47808	0.5008008
Desvío	0.2886751346	0.2981059	0.2854508	0.2864337	0.267806
Curtosis	-1.2	-1.284478	-1.13726	-1.179772	-0.8863847
Asimetria	0	0.09920876	-0.07215526	-0.0108821	-0.01843991
cuartil 0%	0	0.01394744	0.01919614	0	0.01008641
cuartil 25%	0.25	0.1840255	0.2600558	0.25475	0.3026029
cuartil 50%	0.5	0.4559388	0.5030366	0.463	0.520049
cuartil 75%	0.75	0.727682	0.7099445	0.73	0.7066047
cuartil 100%	1.00	0.9966363	0.9814447	0.986	0.9814372
N		100	100	100	100

Figura 2: Medidas de tendencia central y dispersión, parámetros forma de cada una de las variables comparadas con los valores teóricos de la distribución Uniforme Continua (0,1).

Observando la Figura 2,vemos que los números arrojados se encuentran entre 0 y 0.9966363 como es de esperarse, además cada variable tiene su media y su desvío aproximado al del modelo uniforme. En este sentido podemos decir que la variable de los números generados con GeoGebra tiene la media más aproximada a 0.5 y el desvío de los números generados con la calculadora es el más aproximado a 0.28867. Para analizar con más detalle estas medidas, y poder tener una comparación visual, a continuación se presentarán los boxplot de cada una de las variables y de la uniforme (0,1).

También notamos que los parámetros de forma nos dan información bastante parecida a la deseada. Si la distribución es simétrica el coeficiente de asimetría debe ser cero, y en los casos de nuestras variables este coeficiente es aproximadamente cero. El coeficiente de curtosis debe ser -1.2, para nuestros casos es bastante próximo a -1.2, por lo tanto las variables tenidas en cuenta cuentan con una distribución platicúrtica (acumulan más valores en las colas, que la considerada estándar). Comparando los valores, la variable que tiene el coeficiente de curtosis más próximo a -1.2 es la de los números generados con la calculadora, la cual también tiene el coeficiente de asimetría más cercano a cero. Analizaremos con más detenimiento la forma de las distribuciones, en los gráficos de densidad que presentaremos más adelante.

La siguiente figura contiene los primeros cuatro BoxPlox correspondientes a las variables de números generados por la calculadora, DevC++, GeoGebra y R respectivamente y el último pertenece a una variable con distribución uniforme (0,1), para poder realizar la comparación deseada.

En cada Boxplot podemos observar el máximo, el mínimo y los cuartiles (0.25, 0.5 y 0.75). Los máximos y mínimos de cada Boxplot son muy próximos a 0 y 1, como también lo detallaba la Figura 2. Analizando los cuartiles, tanto desde el punto de vista numérico en la Figura 2, como los Boxplot de cada una de las variables, distinguimos que todas tienden a ser simétricas, acumulando aproximadamente el 25% hasta el primer cuartil, el 50% hasta el segundo y el 75% hasta el tercero, a excepción de la variable de números generados con R que el primer cuartil esta por debajo de 0.25 y los generados por GeoGebra que están por encima de 0.25. También podemos observar que la caja más parecida a la uniforme es la de la calculadora, pero ésta no cumple estrictamente con la simetría. La que es más simétrica es la caja de R, pero tiene un brazo más pequeño, lo cual nos habla de la poca dispersión de los datos entre el mínimo y el primer cuartil, y mayor dispersión entre el tercer cuartil y el máximo.

A continuación, mostraremos los histogramas de densidades para observar la forma que siguen cada una de las variables. De color negro marcamos la función de densidad de una distribución uniforme (0,1), esto nos ayudará a ver hasta dónde deberían ir las barras (correspondientes a los intervalos determinados por Sturges) de densidad de cada uno de los histogramas. En un primer momento, pensamos que los histogramas de GeoGebra y R tenían sus barras más próximas a la gráfica de la función de densidad, pero observando mas detenidamente, nos dimos cuenta que al tener valores muy extremos, los datos están muy dispersos en  comparación al histograma de la calculadora, por ejemplo, que aunque no tengan la misma proporción, todos son cercanos a 1.

Todavía no podemos concluir cuál es el mejor generador, porque algunos se destacan por tener determinados valores más próximos a los del modelo uniforme, pero a su vez tienen otros que se alejan bastante. Lo que si debemos resaltar que, a diferencia de lo que habíamos supuesto, el generador de R no es, en primera instancia, el que se destaca del resto (no es el más parecido al modelo uniforme).